bugorwiki.info
на главную

Изображение (математика)

В математике изображение - это подмножество кодомена функции, которое является выходом функции из подмножества ее области.

Оценивая функцию в каждом элементе подмножества X домена, вырабатывается набор, называемый образом X под или через функцию. Обратное изображение или прообраз конкретного подмножества S кодомена функции представляет собой набор всех элементов домена, которые отображаются на элементы S.

Изображение и обратное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений, а не только для функций.

Определение

Слово «изображение» используется тремя связанными способами. В этих определениях f : XY является функцией от множества X до множества Y.

Изображение элемента

Если x является членом X , то f ( x ) = y (значение f применительно к x ) является изображением x под f . y альтернативно известен как вывод f для аргумента x .

Изображение подмножества

Образом подмножества AX под f является подмножество fY, определяемое (в обозначении построителя множеств):

f = {y∈Y | y = f (x) для некоторого x∈A} {\ displaystyle f = \ {\, y \ in Y \, | \, y = f (x) {\ text {для некоторых} } x \ in A \, \}}

Когда нет риска путаницы, f просто записывается как f ( A ). Это соглашение является общим; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает функцию f , доменом которой является набор степеней X (множество всех подмножеств X ), а чьим доменом является набор степеней Y. Смотрите примечание ниже.

Изображение функции

Образ f всей области X of f называется просто образом f .

Обобщение на бинарные отношения

Если R - произвольное бинарное отношение на X × Y , множество {y∈ Y | xRy для некоторого xX } называется образом или диапазоном R. Двойственно, множество { xX | xRy для некоторого y∈ Y } называется областью R.

Обратное изображение

«Прообраз» перенаправляет сюда. О криптографической атаке на хэш-функции см. Атака на прообраз.

Пусть f функция из X в Y. Прообраз или обратное изображение множества BY под f является подмножеством X, определяемым как

f − 1 = {x∈X | f (x) ∈B} {\ displaystyle f ^ {- 1} = \ {\, x \ in X \, | \, f (x) \ in B \}}

Обратное изображение синглтона, обозначаемое f −1 или f −1, также называется слоем над y или набором уровней y . Множество всех слоев над элементами Y является семейством множеств, индексированных по Y.

Например, для функции f ( x ) = x 2 обратное изображение {4} будет равно {−2, 2}. Опять же, если нет риска путаницы, мы можем обозначить f -1 через f -1 ( B ) и думать о f -1 как о функции от набора мощности Y до набора мощности X. Обозначение f −1 не следует путать с обозначением для обратной функции. Тем не менее, обозначения совпадают с обычными для биекций в том смысле, что обратный образ B при f является образом B при f − 1.

Обозначения для изображения и обратного изображения

Традиционные обозначения, используемые в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернатива состоит в том, чтобы дать явные имена для изображения и изображения в виде функций между powersets:

Обозначение стрелки

  • f →: P (X) → P (Y) {\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)} с помощью f → (A ) = {f (a) | a∈A} {\ displaystyle f ^ {\ rightarrow} (A) = \ {f (a) \; | \; a \ in A \}}
  • f ←: P (Y) → P (X) {\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)} с помощью f ← (B) ) = {a∈X | f (a) ∈B} {\ displaystyle f ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \; | \; f (a) \ in B \}}

Звездная нотация

  • f⋆: P (X) → P (Y) {\ displaystyle f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)} вместо f → {\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}}
  • f⋆: P (Y) → P (X) {\ displaystyle f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)} вместо f ← { \ displaystyle f ^ {\ leftarrow}}

Другая терминология

  • Альтернативное обозначение для f, используемое в математической логике и теории множеств, - это f " A.
  • В некоторых текстах изображение f называется диапазоном f , но такого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также обычно используется для обозначения кодомена f .

Примеры

  1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } определяется как f (x) = {a, если x = 1a, если x = 2c, если x = 3. {\ displaystyle f (x) ) = \ left \ {{\ begin {matrix} a, & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a, & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c, & {\ mbox {if }} x = 3. \ end {matrix}} \ right.} Образ множества {2, 3} под f имеет вид f ({2, 3}) = { a, c }. Образ функции f - { a, c }. Прообразом a является f − 1 ({ a }) = {1, 2}. Прообраз { a, b } также равен {1, 2}. Прообразом { b , d } является пустое множество {}.
  2. f : RR определяется как f ( x ) = x 2. Образ {−2, 3} под f - это f ({−2, 3}) = {4, 9}, а образ f - это R + , Прообраз {4, 9} под f равен f −1 ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Прообраз множества N = { nR | n 0} под f - пустое множество, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
  3. f : R 2 → R, определяемый как f ( x , y ) = x 2 + y 2. Слои f −1 ({ a }) представляют собой концентрические окружности относительно начала координат, самого начала координат и пустого множества в зависимости от того, a > 0, a = 0 или a 0 соответственно.
  4. Если M - многообразие и π : TMM - каноническая проекция из касательного расслоения TM к M , то слои π являются касательными пространствами T x ( M ) для xM. Это также пример волоконного жгута.
  5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

последствия

Для функции f : XY для всех подмножеств A , A 1 и A 2 в X и всех подмножеств B , B 1 и B 2 в Y имеем:

  • f ( A 1 ∪ A 2) = f ( A 1) ∪ f ( A 2)
  • f ( A 1 ∩ A 2) ⊆ f ( A 1) ∩ f ( A 2)
  • f − 1 ( B 1 ∪ B 2) = f − 1 ( B 1) ∪ f − 1 ( B 2)
  • f − 1 ( B 1 ∩ B 2) = f − 1 ( B 1) ∩ f − 1 ( B 2)
  • f (A) ⊆ BAf −1 ( B )
  • f ( f − 1 ( B )) ⊆ B
  • f − 1 ( f ( A )) ⊇ A
  • A 1 ⊆ A 2 ⇒ f ( A 1) ⊆ f ( A 2)
  • B 1 ⊆ B 2 ⇒ f − 1 ( B 1) ⊆ f − 1 ( B 2)
  • f − 1 ( B C) = ( f − 1 ( B )) C
  • | А) -1 (В) = AF -1 (B).

Результаты, относящиеся к изображениям и прообразам (булевой) алгебры пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

  • f (∈s∈SAs) = ⋃s∈Sf (As) {\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {s \ in S} A_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f ( Как})}
  • f (∈s∈SAs) ∈s∈Sf (As) {\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {s \ in S} A_ {s} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {s \ in S} f (Как})}
  • f − 1 (∈s∈SBs) = ⋃s∈Sf − 1 (Bs) {\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f ^ {- 1} (B_ {s})}
  • f − 1 (∈s∈SBs) = ⋂s∈Sf − 1 (Bs) {\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcap _ {s \ in S} f ^ {- 1} (B_ {s})}

(Здесь S может быть бесконечным, даже неисчислимо бесконечным.)

Что касается алгебры подмножеств, из сказанного выше видно, что обратная функция изображения является решеточным гомоморфизмом, тогда как функция изображения является лишь полурешеточным гомоморфизмом (она не всегда сохраняет пересечения).


просмотров: 16