bugorwiki.info
на главную

Значимые фигуры

Арифметика значимости - это приблизительные правила для грубой поддержки значимости в течение всего вычисления. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности.

Числа часто округляются, чтобы избежать сообщения незначительных цифр. Например, это создаст ложную точность, чтобы выразить измерение как 12,34500 кг (что имеет семь значащих цифр), если весы измеряются только с точностью до ближайшего грамма и дают показание 12,345 кг (которое имеет пять значащих цифр). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы их можно было быстрее произносить в новостных передачах.

Выявление значимых фигур

Краткие правила

  • Все ненулевые цифры являются значимыми: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  • Нули между ненулевыми цифрами значимы: 102, 2005, 50009.
  • Ведущие нули никогда не значимы: 0,02, 001,887, 0,000515.
  • В числе с десятичной точкой значат завершающие нули (те, что справа от последней ненулевой цифры): 2,02000, 5,400, 57,5400.
  • В числе без десятичной точки конечные нули могут быть или не быть значимыми. Для уточнения значения конечных нулей требуется больше информации через дополнительные графические символы или явную информацию об ошибках.

Значительные цифры правила объяснили

В частности, правила определения значимых цифр при написании или интерпретации чисел следующие:

  • Все ненулевые цифры считаются значимыми. Например, 91 имеет две значащие цифры (9 и 1), а 123,45 имеет пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5).
  • Нули, появляющиеся где-то между двумя ненулевыми цифрами, значимы: 101.1203 имеет семь значащих цифр: 1, 0, 1, 1, 2, 0 и 3.
  • Нули слева от значащих цифр не значимы. Например, 0,00052 имеет две значащие цифры: 5 и 2.

Нули справа от значащих цифр в числе, содержащем десятичную точку, являются значимыми. Например, 12.2300 имеет шесть значащих цифр: 1, 2, 2, 3, 0 и 0. Число 0.000122300 по-прежнему имеет только шесть значащих цифр (нули перед 1 не имеют значения). Кроме того, 120,00 имеет пять значащих цифр, поскольку имеет три конечных нуля. Это соглашение уточняет точность таких чисел; например, если измерение с точностью до четырех десятичных знаков (0,0001) задано как 12,23, то можно понять, что доступны только два десятичных знака точности. Указание результата как 12.2300 проясняет, что он является точным с точностью до четырех знаков после запятой (в данном случае, шесть значащих цифр).

  • Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, может быть не всегда понятно, является ли число, например 1300, точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно совпадает с точным кратным сотне) или если оно показывается только с точностью до ста из-за округления или неопределенности. Существует множество соглашений для решения этой проблемы:
  • Над последней значащей цифрой может быть размещен надстрочный знак, иногда также называемый перекладиной или, что менее точно, винкулюмом; любые последующие нули после этого незначительны. Например, 1300 имеет три значащие цифры (и, следовательно, указывает, что число точно с точностью до десяти).
  • Реже, используя тесно связанную конвенцию, можно подчеркнуть последнюю значащую цифру числа; например, «2000» имеет две значимые цифры.
  • Десятичная точка может быть помещена после числа; например "100". конкретно указывает, что подразумеваются три значащие цифры.
  • В комбинации числа и единицы измерения можно избежать неоднозначности, выбрав подходящий префикс единицы измерения. Например, количество значимых цифр в массе, указанной как 1300 г, является неоднозначным, тогда как в массе 13 рт. Ст. Или 1,3 кг это не так.
  • Число может быть выражено в научной нотации (см. Ниже).
Однако эти условные обозначения не используются повсеместно, и часто необходимо из контекста определить, являются ли такие конечные нули значимыми. Если все остальное терпит неудачу, уровень округления может быть указан явно. Иногда используется аббревиатура sf, например «20 000 до 2 sf» или «20 000 (2 sf)». В качестве альтернативы, неопределенность может быть указана отдельно и явно со знаком плюс-минус, например, в 20 000 ± 1%, так что правила значащих цифр не применяются. Это также позволяет указывать прецизионные промежуточные степени десяти (или какова бы ни была базовая мощность системы нумерации).

Научная нотация

В большинстве случаев одни и те же правила применяются к числам, выраженным в научных обозначениях. Однако в нормализованной форме этого обозначения начальные и конечные цифры заполнителя не встречаются, поэтому все цифры значимы. Например, 6996120000000000000 01 0,00012 (две значащие цифры) становится 6996120000000000000 ♠ 1,2 × 10–4, а 6997122299999999999 ♠ 0,00122300 (шесть значащих цифр) становится 6997122300000000000 ♠ 1,22300 × 10–3. В частности, устранена потенциальная двусмысленность в значении конечных нулей. Например, 7003130000000000000 00 1300 до четырех значащих цифр записывается как 7003130000000000000 ♠ 1.300 × 103, а 7003130000000000000 ♠ 1300 до двух значащих цифр записывается как 7003130000000000000 ♠ 1,3 × 103.

Часть представления, которая содержит значимые цифры (в отличие от основы или показателя), известна как сигниал и мантисса.

Округление и десятичные разряды

Основная концепция значащих цифр часто используется в связи с округлением. Округление до значащих цифр является более универсальным методом, чем округление до n десятичных разрядов, поскольку оно обрабатывает числа различных масштабов единообразным образом. Например, население города может быть известно только с точностью до тысячи человек и может быть указано как 52 000, тогда как население страны может быть известно только с точностью до миллиона человек и может быть указано как 52 000 000 человек. Первый может ошибаться сотнями, а второй - ошибками сотен тысяч, но оба имеют две значимые цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки (ее вероятный размер относительно размера измеряемой величины) одинакова в обоих случаях.

Округлить до n значащих цифр:

  • Определите значимые цифры перед округлением. Это n последовательных цифр, начинающихся с первой ненулевой цифры.
  • Если цифра, расположенная непосредственно справа от последней значащей цифры, больше 5 или равна 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к последней значащей цифре. Например, 1,2459 в результате расчета или измерения, которое учитывает только 3 значащих цифры, должно быть написано 1,25.
  • Если цифра, расположенная непосредственно справа от последней значащей цифры, представляет собой цифру 5, за которой не следует никаких других цифр или только после нулей, для округления требуется правило разрыва связи. Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
    • Округление наполовину от нуля (также известный как "5/4") округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, подразумеваемый во многих дисциплинах, если он не указан.
    • Округление от половины до четного, которое округляется до ближайшего четного числа, в этом случае округляется до 1,2. Та же стратегия, примененная к 1,35, вместо этого округляется до 1,4.
  • Замените незначительные цифры перед десятичной точкой на нули.
  • Удалите все цифры после десятичной точки справа от значащих цифр (не заменяйте их нулями).

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного числа мест (например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют). Таким образом, округление до фиксированного числа десятичных разрядов является орфографическим соглашением, которое не сохраняет значимости и может либо потерять информацию, либо создать ложную точность.

В Великобритании полученные налоговые декларации по налогу на прибыль всегда округляются до ближайшего фунта, в то время как уплаченный налог округляется, хотя налог, удержанный у источника, исчисляется с точностью до копейки. Это создает интересную ситуацию, когда любой человек, у которого налог точно вычтен у источника, имеет значительную вероятность небольшой скидки, если он заполняет налоговую декларацию.

В качестве иллюстрации, десятичная величина 12,345 может быть выражена различными числами значащих цифр или десятичных разрядов. Если недостаточная точность доступна, то число округляется некоторым образом, чтобы соответствовать доступной точности. В следующей таблице приведены результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.


точность
Округлено до
значимые фигуры
Округлено до
десятичные знаки
6 12,3450 12.345000
5 12,345 12,34500
4 12,35 12,3450
3 12,3 12,345
2 12 12,35
1 10 12,3
0 N / A 12

Другой пример для 0,012345 :


точность
Округлено до
значимые фигуры
Округлено до
десятичные знаки
7 0.01234500 0.0123450
6 0.0123450 0.012345
5 0.012345 0,01235
4 0,01235 0,0123
3 0,0123 0.012
2 0.012 0,01
1 0,01 0.0
0 N / A 0

Представление положительного числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое определяется по формуле:

раунд (10 −nx ) n10 n , где n = этаж (log10 x ) + 1 - p .

Для отрицательных чисел формула может использоваться по абсолютному значению; для нуля преобразование не требуется. Обратите внимание, что результат, возможно, должен быть записан с одним из вышеупомянутых соглашений, объясненных в разделе «Идентификация значащих цифр», чтобы указать фактическое количество значащих цифр, если результат включает, например, конечные значащие нули.

арифметика

Основная статья: Значение арифметики

Поскольку существуют правила для определения количества значащих цифр в количествах, измеренных непосредственно, существуют правила для определения количества значащих цифр в количествах, рассчитанных по этим измеренным величинам.

Только измеренные величины учитываются при определении количества значащих цифр в рассчитанных количествах . Точные математические величины , такие как П в формуле для площади круга с радиусом г, π R 2 не оказывает никакого влияния на количество значащих цифр в конечной расчетной области. Аналогично, ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v , ½ mv 2, не имеет отношения к числу значащих цифр в окончательной рассчитанной кинетической энергии. Считается, что константы π и ½ имеют бесконечное число значащих цифр.

Для количеств, созданных из измеренных величин путем умножения и деления , вычисленный результат должен иметь столько же значащих цифр, сколько измеренное число с наименьшим числом значащих цифр. Например,

1,234 × 2,0 = 2,468… ≈ 2,5,

только с двумя значительными цифрами. Первый фактор имеет четыре значащие цифры, а второй имеет две значимые цифры. Коэффициент с наименьшим количеством значащих цифр является вторым с только двумя, поэтому итоговый рассчитанный результат также должен иметь в общей сложности две значащие цифры.

Для величин, созданных из измеренных величин сложением и вычитанием , последнее значащее десятичное место (сотни, десятки, единицы, десятые и т. Д.) В вычисленном результате должно быть таким же, как крайнее левое или наибольшее десятичное место последней значащей цифры. всех измеренных величин в терминах суммы. Например,

100,0 + 1,234 = 101,234… ≈ 101,2

с последней значимой цифрой на десятом месте. Первый член имеет свою последнюю значащую цифру на десятом месте, а второй член имеет последнюю значимую цифру на тысячном месте. Самая левая из десятичных разрядов последней значащей цифры из всех слагаемых суммы - это десятая часть от первого слагаемого, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.

Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее число значащих цифр в каждом из факторов; десятичное место последней значащей цифры в каждом факторе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичное место последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значимых цифр в каждом термине не имеет значения.

В логарифме 10 нормализованного числа результат должен быть округлен до числа значащих цифр в нормализованном числе. Например, log10 (3.000 × 104) = log10 (104) + log10 (3.000) ≈ 4 + 0.47712125472, должно быть округлено до 4.4771.

При приеме антилогарифмов полученное число должно иметь столько же значимых цифр, сколько мантисса в логарифме.

При выполнении расчета не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте столько цифр, сколько это возможно (по крайней мере, на 1 больше, чем подразумевается под точностью конечного результата) до конца расчета, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления.

Подсчет десятых

При использовании линейки сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки равна см, а считывается 4,5 см, то это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см.

Возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждого блока. Однако, предполагая нормальную линейку хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя метками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке в калибровке линейки.

Предварительный расчет

Основная статья: Оценка

При оценке доли индивидуумов, имеющих какую-либо особенность в популяции, из случайной выборки этой популяции количество значимых цифр не должно превышать максимальную точность, разрешенную этим размером выборки. Правильное число значащих цифр определяется порядком величины выборки. Это можно найти, взяв 10 логарифмов размера выборки и округлив до ближайшего целого числа.

Например, в опросе 120 случайно выбранных зрителей регулярно посещаемой веб-страницы мы обнаружили, что 10 человек не согласны с предложением на этой веб-странице. Порядок величины нашей выборки составляет Log10 (120) = 2.0791812460 ..., что округляется до 2. Таким образом, наша оценочная доля людей, которые не согласны с этим предложением, составляет 0,083, или 8,3%, с двумя значительными цифрами. Это связано с тем, что в различных выборках из 120 человек из этой группы населения наша оценка будет варьироваться в единицах 1/120, и любые дополнительные цифры будут искажать размер нашей выборки, давая ложную точность. Чтобы интерпретировать нашу оценку числа зрителей, которые не согласны с этим предложением, мы должны затем рассчитать некоторую меру нашей уверенности в этой оценке.

Отношение к точности и точности измерений

Основная статья: Точность и аккуратность

Традиционно в различных технических областях «точность» относится к близости данного измерения к его истинному значению; «Точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» фактически используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «достоверность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание правильности и точности. (См. Статью «Точность и точность» для более полного обсуждения.) В любом случае число значащих цифр примерно соответствует точности , а не использованию слова «точность» или более новой концепции правильности.

В вычислительной технике

Основная статья: Плавающая точка

Компьютерные представления чисел с плавающей запятой обычно используют форму округления до значащих цифр, но с двоичными числами. Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной погрешности (которое имеет то преимущество, что является более точным показателем точности и не зависит от радиуса используемой системы счисления).


просмотров: 33